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明日使える算数(数学)講座 ~「ユークリッドの互除法」で最大公約数を求めよう~

突然ですが皆さん、2つの数の最大公約数をちゃんと求めることができますか?

では、まずは小手調べ。12と18の最大公約数を求めてみてください。

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はい、答えは出ましたか? 正解は「6」です!

普通に習う最大公約数の求め方としては、

①まず小さい方の数の約数を求める→12の約数:1,2,3,4,6,12

②その中で18を割り切れるものを、大きい約数から順番に探す→18÷12=割り切れない、18÷6=割り切れる

③一番最初に割り切れた数が、二つの数の最大公約数→12と18の最大公約数は6

 

小6以上ならぜひ解けてほしいところですね(笑)

では、第2問! 1113と3763の最大公約数を求めてください。

制限時間は3分です!

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さて、どうですか? 解けましたか?

ではまずは、1113の約数を求めて……………………

はい、めちゃくちゃ大変ですね(笑) これだけで3分が終わってしまいそうです。

2けたの整数の約数を求めるのであれば、慣れればそんなに難しくはありません。しかし、3桁以上ともなるとかなり骨の折れる作業になってしまいます。

それでは、この4桁どうしの整数の最大公約数をどのように求めるのか? ここで登場するのが、タイトルにもある「ユークリッドの互除法」です。

タイトルだけ聞くとめちゃくちゃ難しそうですが、なんとこの法則は小学校4年生レベルの計算能力があれば使うことができます!

実際にやってみましょう。

①最大公約数を求めたい2つの整数について、大きい方を小さい方で割って余りを出す

→3763÷1113=3あまり424

②余りが出た場合、その式の「割る数(割り算の記号の右にある数字)」を余りで割る

1113÷424=2あまり265

③割り切れるまで「前の式の割る数÷前の式の余り」の手順を繰り返す

424÷265=1あまり159265÷159=1あまり106159÷106=1あまり53106÷53=2

割り切れた時の式において、割る数になっているものが最大公約数

→1113と3763の最大公約数は、53

 

もちろん、この法則は何桁の数字でも使えます。なので、冒頭の「18と12の最大公約数」についても、

18÷12=1あまり6 12÷6=2 よって18と12の最大公約数は6

というように、簡単な割り算の計算のみで求めることができます。余裕があるなら、覚えておくといいかもしれませんね!


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