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頭の体操 ~中3への挑戦状!~

以下の図を参考に、円周率(π)が2.8より大きく4より小さいことを証明しなさい。

ただし、√2=1.41としてよい。

さて、シンプルな問題文ですが、解き応えは充分! ポイントは、上の幾何学模様のような図をどのように使っていくか……

平方根を習った中3なら知識的には解ける問題です。さぁ、考えてみましょう!

 

ヒント(反転して読んでください)

ヒント①:図において、円の直径を1cmとして考えます

ヒント②:ヒント①の通りに考えると、円の円周はπcmになります。これと、円の内外にある四角形の周の長さを考えていきます

ヒント③:外側の正方形の周の長さは比較的簡単に出せると思いますが、内側の正方形の周の長さは、一度面積を経由しなければなりません

それでは、正解発表です!

(証明)

図中の円の直径を1cmとすると、この円の円周はπcmとなる。また、円の外側にある正方形の1辺の長さは円の直径に等しいので、その周の長さは4cm。円の円周はこれより小さいので、4>π ……①

続いて、円の内側にある四角形について考えていく。これは対角線の長さが1cmのひし形なので、面積は1×1÷2=1/2cm2。ゆえに、この四角形の1辺の長さをx(x≧0)とすると、x2=1/2 これを解くとx=√2/2

すなわち、この四角形の周の長さは(√2/2)×4=2√2

√2=1.41より、2√2=2.82

円の円周はこれより大きいので、π>2.82 ……②

①、②より、4>π>2.8


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