さて、前回のブログでは、素数を判別するにあたって「10以上120以下の整数の場合、2,3,5,7で割り切れなければ素数」という方法をお伝えしました。

今回は、「なぜそうなるのか」をご説明したいと思います！

①10以上99以下の整数について

二桁の整数は、もしその数が素数でないなら、必ず1以外の一桁の約数（2～9のいずれか）が存在します。これは、二桁の整数はかけ算で表すと、必ず「一桁×一桁」もしくは「一桁×二桁」という形になるからです（「二桁×二桁」で表される最小の整数は100なので）。これがどういうことかというと、「素数でない二桁の整数の場合、1の次に大きい約数が二桁の数になることはありえない」ということです。

私は常々、生徒に「約数を全部書き出すと、基本的にペアができます。それは、かけ算すると元の整数になるペアです」ということを教えています。例えば12という数字の場合、約数は1,2,3,4,6,12の六つです。そして、1×12＝12、2×16＝12、3×4＝12、といった具合で、かけ算をすると12になるペアを作ることができます。例外としては平方数（ある整数の2乗の数、同じ整数×同じ整数で表される数）で、平方数の約数の個数は必ず奇数個になります。例えば16の場合、約数は1,2,4,8,16の五つですが、この場合は1×16＝16、2×8＝16、そして真ん中の4のペアを4自身で4×4＝16、ということになります。

これを踏まえたうえで、「素数ではない二桁の整数で、2～9を約数として持たない数」というのが存在するかということを考えると、それは不可能だということがお分かりでしょうか？　なぜなら、二桁の整数については、その数の二桁の約数の「ペア」は必ず一桁の数になるからです。

……などと長々と説明してしまいましたが、シンプルに言い換えると、「ある二桁の整数が2～9のいずれかで割り切れなければ、その数は素数」ということになります。

さて、そこで疑問に上がってくるのは、「『2,3,5,7で割り切れなければ～』って書いてあるけど、4,6,8,9は考えなくていいの？」という点だと思います。これに関しては簡単な話で、「ある数が4で割り切れる（＝4を約数として持っている）ということは、その数は2でも割り切れる（＝2を約数として持っている）」が成り立つからです。もちろん、これは6,8についても同じですし、同様に「9で割り切れるなら3でも割り切れる」ことも言えます。裏を返せば「2で割り切れなければ4,6,8でも割り切れない」「3で割り切れなければ9でも割り切れない」ということになるので、2,3で割り切れるかどうかを試したのなら、4,6,8,9については考えなくてもよいことになります。

以上の点から、まず「二桁の整数は、2,3,5,7で割り切れなければ素数」だということが証明できました。

②100以上120以下の整数について

この範囲になると、「二桁×二桁」で表される数が出てくるようになります。ただし、120以下の整数で「二桁×二桁」で表されるのは、「100（＝10×10）」「110（＝10×11）」「120（10×12）」の三つしかありません。これ以外の数は、全て「一桁×二桁」もしくは「一桁×三桁」でしか表せないので、①の時と同様、「2,3,5,7で割り切れれば素数ではない」という法則が成り立ちます。

そして、今挙げた三つの数字に関しても、見て分かる通り「10」が約数として含まれています。ということは、当然のことながら「2」と「5」も約数として含んでいるので、「2,3,5,7で割り切れれば～」の例に漏れず、この法則を用いて除外することができるのです。というか、考えるまでもなく偶数であることが一目瞭然なので、もはや計算すら必要ありませんが……

以上の理由から、「10以上120以下の整数の場合、2,3,5,7で割り切れなければ素数」ということが証明できました。ちなみに、この法則を更に広げると、「10以上224以下の整数の場合、2,3,5,7,11,13で割り切れなければ素数」という法則を見出すことも可能です。その理由は、是非自分で考えてみてください。

このような法則を知って、それを有効活用することはもちろん大事ですが、「なぜそうなるのか」を追究することによってステップアップを図ることができますよ！

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