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頭の体操! ~おはじき取りゲーム②~

この記事は前回の問題の続きとなっておりますので、前回を見ていない方はまずはそちらを読むことをおすすめします。

 

30個のおはじきがある。二人のプレイヤーが交互にそこから1~3個のおはじきを取っていき、最後の1個を取った方が負けというルールでゲームを行う。なお、各プレイヤーは1度ずつパスを使い、自分の番を飛ばすことができる。ただし、相手のパスに続けてパスを出すことはできない。

このようなルールでゲームを行う時、必勝法は存在するだろうか? また、するとしたらどのような? しないとしたら、なぜ存在しないか?

 

「パス」というものの存在により、さらに難易度が跳ね上がった問題。論理的に考えていきましょう!

 

以下はヒントです(反転して読んでください)

ヒント①:「必勝法が存在するとしたら、勝利の1ターン前にはこういう状況になっているはず」というところから考えを広げていきましょう。パスは連続で使えない点に注意です

ヒント②:ズバリ、必勝法はあります

それでは正解発表です!

まず、この問題は前回のように、29個目を取った方が勝ちという単純な話にはなりません。なぜなら、29個目を取ったとしても相手にパスを使われたら負けてしまうからです。そこで、今回の問題を解くには以下の2つの場合分けが必要になります

 

[1]一つ目の場合分けは、「相手がパスを使い切った状態で自分が29個目のおはじきを取る」です。そして、自分が29個目を取るためには、前回の問題のように、自分が25個目、21個目、17個目、13個目……と「4の倍数+1個目」のおはじきを取っていくことになります。

 

[2]もう一つは、そこからさらに逆算していきます。上述の点を考慮すると、言い換えれば「自分がパスを残した状態で相手に29個目を取らせる」ということができれば自分の勝ちになります。これはすなわち、「自分がパスを残した状態で28個目のおはじきを取る」ことで勝利が確定するということです。自分が28個目を取るためには、自分が24個目、20個目、16個目、12個目……と「4の倍数個目」のおはじきを取っていくことになります。

 

さて、ポイントは、この二つの勝利条件を確定で満たす方法があるかということです。順を追って考えていきましょう。

 

ゲーム開始直後は互いにパスが残っているので、必然的に[2]の「4の倍数個目のおはじきを取る」という戦法から始めていくことになります。そして、先攻のプレイヤーは最大でも3個までしかおはじきを取ることができないので、この時点で相手の動向に左右されずに目的のおはじきを確実に取ることができるのは後攻のプレイヤーのみとなります。したがって、ここからは後攻のプレイヤーの視点から考えていきます。

後攻は、「先攻が取った数+自分が取った数=4」となるようにおはじきを取っていきます。もし、先攻が途中でパスを使わなければ、自分が28個目を取った時点で勝ちが確定します。

例:Aが2個取る(残り28個)→Bが2個取る(残り26個)→Aが3個取る(残り23個)→Bが1個取る(残り22個)→Aが3個取る(残り19個)→Bが1個取る(残り18個)→Aが3個取る(残り15個)→Bが1個取る(残り14個)→Aが3個取る(残り11個)→Bが1個取る(残り10個)→Aが2個取る(残り8個)→Bが2個取る(残り6個)→Aが3個取る(残り3個)→Bが1個取る(残り2個)→Aが1個取る(残り1個)→Bがパスをする→Aが最後の1個を取る→Aの負け

 

それでは、途中で相手がパスを使ったらどうなるでしょうか? [1]で説明したように、相手がパスを使っているなら、勝つためには「4の倍数+1個目」のおはじきを取っていけばOKです。したがって、後攻のプレイヤーは、先攻にパスを使われたターンは1個だけおはじきを取り、あとはセオリー通り「先攻が取った数+自分が取った数=4」となる数のおはじきを取っていけば、必ず勝つことができます。

例:Aが2個取る(残り28個)→Bが2個取る(残り26個)→Aが3個取る(残り23個)→Bが1個取る(残り22個)→Aが3個取る(残り19個)→Bが1個取る(残り18個)→Aがパスをする→Bが1個取る(残り17個)→Aが3個取る(残り14個)→Bが1個取る(残り13個)→Aが2個取る(残り11個)→Bが2個取る(残り9個)→Aが3個取る(残り6個)→Bが1個取る(残り5個)→Aが1個取る(残り4個)→Bが3個取る(残り1個)→Aが最後の1個を取る→Aの負け

 

いかがでしたでしょうか? このように論理的に逆算をしていけば、後攻のプレイヤーが100%勝てるということが証明されます。

現実のテストや入試なんかでも、結果から逆算して「この結論を得るためにはこの条件が必要」という視点から試行していくことが必要になるパターンも存在します。これは数学はもちろんのこと、国語などでも使うことのできる思考法です。

論理的な思考力を養って、勉強にも活かしていきましょう!


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