①　当たりくじが2本、外れくじが8本の合計10本のくじがある。ここから1本ずつ順番に2回引くとき、少なくとも1本あたりが出る確率は？

②　1～20の数字が書かれた赤青2つの正二十面体のサイコロがある（全ての目の出方は同様に確からしい）。これらのサイコロを1回ずつ振って、出た目の積が360以下になる確率は？

さて、これらは中2数学の確率の単元で出てくるような問題です。このような問題を額面通りに受け取って素直にそのまま解こうとすると、かなり骨が折れますよね？

例えば、①をそのまま解くと、

Ⅰ.　1回目が当たり、2回目が外れの確率→2/10 × 8/9 = 16/90 = 8/45

Ⅱ.　1回目が外れ、2回目が当たりの確率→8/10 × 2/9 = 16/90 = 8/45

Ⅲ.　2回とも当たりの確率→2/10 × 1/9 = 2/90 = 1/45

Ⅰ～Ⅲより　8/45 + 8/45 + 1/45 = 17/45

というように、3パターンをそれぞれ考えて最後に足すという手間がかかります。

②に至っては、「サイコロ問題は表を作って考える」というのがセオリーですが、20×20マスの表を作り、さらにそこから積が360以下になるマスを順にマークしていく……というのはとても現実的ではありません。

それではどうするかというと、ここで登場するのがタイトルにもある「起こらない確率」を求めることです。

この「起こらない確率」はなんでもかんでも使えるわけではありませんが、うまく使用すれば問題を解くのがぐっと楽になります。これを使うタイミングは、大まかに以下の2通りあります。

このような問題が出てきたときは、「起こらない確率」を求めてそれを1から引く方が圧倒的に簡単な場合がほとんどです。

それでは、上の例題を使って実際に「起こらない確率」から問題を解いてみましょう。

①「少なくとも1本当たりが出る」が起こらない確率、すなわち「1本も当たりが出ない」確率を考える

8/10 × 7/9 = 56/90 = 28/45

⇒少なくとも1本当たりが出る確率→1 – 28/45 = 17/45

②「出た目の積が360以下」が起こらない確率、すなわち「出た目の積が361以上」になる確率を考える

赤いサイコロの出目をA、青いサイコロの出目をBとすると、積が361以上になる出目の組み合わせは、（A,B）=（19,19）,（19,20）,（20,19）,（20,20）の4通り。

また、出目の組み合わせは全部で20×20=400通りなので、積が361以上になる確率は4/400 = 1/100

⇒出た目の積が360以下になる確率→1 – 1/100 = 99/100

以上のように、普通に解いたらなかなか手間のかかる問題を、「起こらない確率」をうまく利用すればこうもあっさり解けてしまうのです。

これさえマスターすれば、確率の問題なんてもう怖くない……かも！

Tweet